Explorando a Média Móvel Exponencialmente Ponderada A volatilidade é a medida mais comum de risco, mas vem em vários sabores. Em um artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. (Para ler este artigo, consulte Uso da volatilidade para avaliar o risco futuro.) Usamos os dados reais do preço das ações do Google para calcular a volatilidade diária com base em 30 dias de dados de estoque. Neste artigo, vamos melhorar a volatilidade simples e discutir a média móvel exponencialmente ponderada (EWMA). Vs Histórico. Volatilidade Implícita Primeiro, vamos colocar essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens amplas: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica pressupõe que o passado é um prólogo que medimos a história na esperança de que seja preditiva. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora a história e resolve a volatilidade implícita nos preços de mercado. Espera que o mercado saiba melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que implicitamente, uma estimativa consensual de volatilidade. (Para leitura relacionada, veja Os usos e limites da volatilidade.) Se nos concentrarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), elas têm duas etapas em comum: calcular a série de retornos periódicos Aplicar um esquema de ponderação Primeiro, nós calcular o retorno periódico. Isso é tipicamente uma série de retornos diários em que cada retorno é expresso em termos continuamente compostos. Para cada dia, pegamos o logaritmo natural da razão entre os preços das ações (ou seja, o preço hoje dividido pelo preço de ontem e assim por diante). Isso produz uma série de retornos diários, de u i a u i-m. dependendo de quantos dias (m dias) estamos medindo. Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior (Usando Volatilidade Para Medir o Risco Futuro), mostramos que, sob algumas simplificações aceitáveis, a variância simples é a média dos retornos ao quadrado: Observe que isso soma cada um dos retornos periódicos, então divide o total pelo retorno. número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos ao quadrado. Em outras palavras, cada retorno ao quadrado recebe um peso igual. Então, se alpha (a) é um fator de ponderação (especificamente, 1 / m), então uma variação simples se parece com algo assim: O EWMA Melhora na Variação Simples A fraqueza dessa abordagem é que todos os retornos ganham o mesmo peso. O retorno de ontem (muito recente) não tem mais influência na variância do que no retorno do último mês. Esse problema é corrigido usando a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA), na qual retornos mais recentes têm maior peso na variância. A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) introduz lambda. que é chamado de parâmetro de suavização. Lambda deve ser menor que um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, o retorno de cada quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma: Por exemplo, RiskMetrics TM, uma empresa de gerenciamento de risco financeiro, tende a usar um lambda de 0,94 ou 94. Nesse caso, o primeiro ( mais recente) o retorno periódico ao quadrado é ponderado por (1-0.94) (. 94) 0 6. O próximo retorno ao quadrado é simplesmente um múltiplo lambda do peso anterior neste caso 6 multiplicado por 94 5.64. E o terceiro dia anterior é igual a (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Esse é o significado de exponencial em EWMA: cada peso é um multiplicador constante (ou seja, lambda, que deve ser menor que um) do peso do dia anterior. Isso garante uma variação ponderada ou tendenciosa em relação aos dados mais recentes. (Para saber mais, confira a Planilha do Excel para a Volatilidade do Google.) A diferença entre apenas a volatilidade e o EWMA para o Google é mostrada abaixo. A volatilidade simples pesa efetivamente cada retorno periódico em 0,196, como mostrado na coluna O (tivemos dois anos de dados diários de preços de ações. Isso é 509 retornos diários e 1/509 0,196). Mas observe que a coluna P atribui um peso de 6, depois de 5,64, depois de 5,3 e assim por diante. Essa é a única diferença entre a variância simples e o EWMA. Lembre-se: depois que somarmos a série inteira (na Coluna Q), temos a variância, que é o quadrado do desvio padrão. Se quisermos a volatilidade, precisamos lembrar de tomar a raiz quadrada dessa variação. Qual é a diferença na volatilidade diária entre a variância e EWMA no caso Googles Sua significância: A variância simples nos deu uma volatilidade diária de 2,4, mas o EWMA deu uma volatilidade diária de apenas 1,4 (veja a planilha para mais detalhes). Aparentemente, a volatilidade do Google se estabilizou mais recentemente, portanto, uma variação simples poderia ser artificialmente alta. A variância de hoje é uma função da variação dos dias Pior Você perceberá que precisávamos calcular uma série longa de pesos decrescentes exponencialmente. Não faremos as contas aqui, mas uma das melhores características do EWMA é que a série inteira reduz convenientemente a uma fórmula recursiva: Recursiva significa que as referências de variação de hoje (ou seja, é uma função da variância dos dias anteriores). Você pode encontrar essa fórmula na planilha também, e ela produz o mesmo resultado exato do cálculo de longo prazo. Diz: Variância de hoje (abaixo de EWMA) igual à variação de ontem (ponderada por lambda) mais retorno ao ontem ao quadrado (ponderada por um menos lambda). Observe como estamos apenas adicionando dois termos juntos: variância ponderada de ontem e retorno ponderada, quadrada de ontem. Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda maior (por exemplo, como RiskMetrics 94) indica decaimento mais lento na série - em termos relativos, teremos mais pontos de dados na série e eles cairão mais lentamente. Por outro lado, se reduzirmos o lambda, indicamos maior decaimento: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto do rápido decaimento, são utilizados menos pontos de dados. (Na planilha, lambda é uma entrada, então você pode experimentar sua sensibilidade). Resumo A volatilidade é o desvio padrão instantâneo de uma ação e a métrica de risco mais comum. É também a raiz quadrada da variância. Podemos medir a variação historicamente ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variação simples. Mas a fraqueza com a variação simples é que todos os retornos recebem o mesmo peso. Então, enfrentamos um trade-off clássico: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados temos, mais nosso cálculo é diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) melhora a variação simples, atribuindo pesos aos retornos periódicos. Ao fazer isso, podemos usar um tamanho de amostra grande, mas também dar maior peso aos retornos mais recentes. (Para ver um tutorial sobre este tópico, visite o site da Bionic Turtle.) Exemplo de cálculo de valor em risco Exemplo de cálculo de valor em risco Este estudo de caso Value at Risk (VaR) mostra como calcular o VaR no Excel usando dois métodos diferentes (Covariância de variação e Simulação histórica) com dados disponíveis publicamente. O que você precisará O recurso Value at Risk e a página de referência. Conjunto de dados para preços spot Gold que podem ser baixados da Onlygold para o período de 1-Jun-2011 a 29-Jun-2012 Dados ajustados para os preços spot do WTI Crude Oil que podem ser baixados do EIA. gov para o período 1-Jun-2011 para 29-Jun-2012 Exemplo de Valor em Risco Nós cobrimos os métodos de Covariância de Variância (VCV) e Simulação Histórica (HS) para calcular o Valor em Risco (VaR). Na lista abaixo, os primeiros 6 itens referem-se à abordagem VCV, enquanto os 3 itens finais estão relacionados à abordagem de Simulação Histórica. Dentro da abordagem VCV, duas metodologias separadas para determinar a volatilidade subjacente dos retornos são consideradas o método da média móvel simples (SMA) e o método da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). O VaR usando Simulação de Monte Carlo não é abordado neste post. Apresentaremos cálculos para: SMA volatilidade diária SMA diário VaR J dias holding SMA VaR Carteira holding SMA VaR EWMA volatilidade diária J-day holding período EWMA VaR Simulação histórica diária VaR Simulação histórica J-dia segurando VaR 10 dias segurando simulação histórica VaR valor da perda para um nível de confiança de 99 Valor em Risco exemplo 8211 contexto Nosso portfólio inclui exposição física a 100 onças troy de ouro e 1.000 barris de WTI Crude. O preço do ouro (por onça troy) é de 1.598,50 e o preço do WTI (por barril) é de 85,04 em 29 de junho de 2012. Séries temporais de Preço de dados Os dados históricos de preços para Gold e WTI foram obtidos para o período de 1 de junho de 2011 a 29 de junho de 2012 de onlygold e eia. gov, respectivamente. O período considerado no cálculo do VaR é denominado período retrospectivo. É o tempo durante o qual o risco deve ser avaliado. A Figura 1 mostra um extrato dos dados da série temporal diária: Figura 1: Dados da série temporal para o Gold e o WTI A série de retornos O primeiro passo para qualquer abordagem do VaR é a determinação da série de retornos. Isso é obtido tomando-se o logaritmo natural da razão de preços sucessivos, conforme mostrado na Figura 2: Figura 2: Dados da série de devoluções para Gold e WTI Por exemplo, o retorno diário para Gold em 2-Jun-2011 (Cell G17) é calculado como LN (Cell C17 / Cell C 16) ln (1539,50 / 1533,75) 0,37. Variância Média Móvel Simples (SMA) da Covariância Seguinte A volatilidade diária da SMA é calculada. A fórmula é a seguinte: Rt é a taxa de retorno no tempo t. E (R) é a média da distribuição de retorno que pode ser obtida no EXCEL tomando a média da série de retorno, ou seja, MÉDIA (matriz da série de retorno). Some as diferenças quadradas de Rt sobre E (R) em todos os pontos de dados e divida o resultado pelo número de retornos na série menos um para obter a variância. A raiz quadrada do resultado é o desvio padrão ou a volatilidade da SMA da série de retorno. Alternativamente, a volatilidade pode ser calculada diretamente no EXCEL usando a função DESVPAD, aplicada à série de retorno, conforme mostrado na Figura 3: Figura 3: Dados da série de devolução para Gold e WTI A volatilidade diária da SMA para Gold in Cell F18 é calculada como STDEV (matriz de série de retorno de ouro). A volatilidade diária da SMA para o Ouro é de 1,4377 e para o WTI é de 1,9856. SMA daily VaR Quanto você perde, durante um determinado período de detenção e com uma dada probabilidade, o VaR mede a pior perda provável de ser contabilizada em uma carteira durante um período de detenção com uma determinada probabilidade ou nível de confiança. Como exemplo, assumindo um nível de confiança de 99, um VaR de US $ 1 milhão num período de retenção de dez dias significa que há apenas uma chance de um por cento de que as perdas excedam US $ 1 nos próximos dez dias. As abordagens SMA e EWMA para o VaR assumem que os retornos diários seguem uma distribuição normal. O VaR diário associado a um determinado nível de confiança é calculado como: VaR diário Volatilidade ou desvio padrão da série de retorno z - valor do inverso da função de distribuição acumulada normal padrão (CDF) correspondente a um nível de confiança especificado. Agora podemos responder a seguinte pergunta: Qual é o SMA VaR diário para Gold e WTI em um nível de confiança de 99 Isso é mostrado na Figura 4 abaixo: Figura 4: VaR diário O VaR diário para ouro calculado na célula F16 é o produto da volatilidade SMA diária (célula F18) e o valor z do inverso do CDF normal padrão para 99. No EXCEL, o escore z inverso no nível de confiança 99 é calculado como NORMSINV (99) 2.326. Assim, o VaR diário para Ouro e WTI em nível de confiança de 99 funciona para 3,3446 e 4,6192, respectivamente. J-day holding SMA VaR Cenário 1 A definição do VaR acima mencionada considera três fatores: perda máxima, probabilidade e período de detenção. O período de manutenção é o tempo que levaria para liquidar o ativo / carteira no mercado. Em Basileia II e Basileia III, um período de detenção de dez dias é uma suposição padrão. Como você incorpora o período de manutenção em seus cálculos O que é o holding SMA VaR para WTI amp Gold por um período de detenção 10 dias em um nível de confiança de 99 Holding period VaR VaR diário SQRT (período de manutenção em dias) Onde SQRT (.) Função de raiz quadrada de EXCEL. Isso é demonstrado para o WTI e Gold na Figura 5 abaixo: Figura 5: período de manutenção de 10 dias VaR 99 nível de confiança O VaR de 10 dias para o ouro no nível de confiança 99 (célula F15) é calculado multiplicando o VaR diário (célula F17 ) com a raiz quadrada do período de espera (célula F16). Isso funciona como 10.5767 para o Ouro e 14.6073 para o WTI. J-day holding SMA VaR Cenário 2 Vamos considerar a seguinte questão: Qual é a manutenção do SMA VaR para o Gold amp WTI por um período de detenção de 252 dias a um nível de confiança de 75. Note que 252 dias são considerados dias de negociação num ano. A metodologia é a mesma usada anteriormente para o cálculo do SMA VaR de 10 dias em um nível de confiança de 99, exceto que o nível de confiança e o período de manutenção são alterados. Assim, primeiro determinamos o VaR diário no nível de confiança de 75. Lembre-se de que o VaR diário é o produto da volatilidade diária da SMA dos retornos subjacentes e do escore z inverso (aqui calculado para 75, ou seja, NORMSINV (75) 0,6745). O VaR diário resultante é então multiplicado com a raiz quadrada de 252 dias para chegar ao VaR da holding. Isto é ilustrado na Figura 6 abaixo: Figura 6: período de manutenção de 252 dias VaR 75 nível de confiança O VaR de 252 dias a 75 para Ouro (Célula F15) é o produto do VaR diário calculado em 75 níveis de confiança (Célula F17) e a raiz quadrada do período de espera (célula F16). São 15,3940 para o Ouro e 21,2603 para o WTI. O VaR diário, por sua vez, é o produto da volatilidade diária da SMA (célula F19) e do escore-z inverso associado ao nível de confiança (célula F18). Portfolio holding SMA VaR Até agora consideramos apenas o cálculo do VaR para ativos individuais. Como estendemos o cálculo para o VaR do portfólio Como as correlações entre os ativos são contabilizadas na determinação do VaR do portfólio Vamos considerar a seguinte pergunta: Qual é o SMA VaR de 10 dias para um portfólio de ouro e WTI em um nível de confiança de O primeiro passo neste cálculo é a determinação de pesos para Gold e WTI em relação ao portfólio. Vamos revisitar as informações de portfólio mencionadas no início do estudo de caso: O portfólio é composto por 100 onças troy de ouro e 1.000 barris de WTI Crude. O preço do ouro (por onça troy) é de 1.598,50 e o preço do WTI (por barril) é de 85,04 no dia 29 de junho de 2012. O cálculo dos pesos é mostrado na Figura 7 abaixo: Figura 7: Pesos dos ativos individuais na carteira Os pesos foram avaliados com base no valor de mercado da carteira em 29 de junho de 2012. Os valores de mercado dos ativos são calculados pela multiplicação da quantidade de um determinado ativo na carteira pelo seu preço de mercado em 29 de junho de 2012. Os pesos são então calculados como o valor de mercado do ativo dividido pelo valor de mercado da carteira, em que o valor de mercado da carteira é a soma dos valores de mercado em todos os ativos da carteira. Em seguida, determinamos um retorno médio ponderado para o portfólio para cada data point (data). Isso é ilustrado na Figura 8 abaixo: Figura 8: Retornos da carteira O retorno médio ponderado da carteira para uma data específica é calculado como a soma entre todos os ativos do produto dos ativos retornados para essa data e as ponderações. Por exemplo, para 2 de junho de 2011, o retorno da carteira é calculado como (0.3765.27) (0.1134.73) 0.28. Isso pode ser feito no EXCEL usando a função SUMPRODUCT como mostrado na barra de funções da Figura 8 acima, aplicada à linha de pesos (célula C19 à célula D19) e linhas de retorno (célula Fxx à célula Gxx) para cada data. Para manter a linha de peso constante na fórmula, quando ela é copiada e colada no intervalo de pontos de dados, os cifrões são aplicados às referências de célula de linha de pesos (por exemplo, C19: D19). Para calcular a volatilidade, o VaR diário e o VaR do período de detenção da carteira aplicam as mesmas fórmulas utilizadas para os ativos individuais. Ou seja, a volatilidade diária da SMA para a carteira STDEV (matriz de retornos da carteira) VaR diário da SMA para a carteira Volatilidade diária NORMSINV (X) e VaR do período Holding para a carteira VaRSQRT diário (período Holding). Podemos agora responder à pergunta: Qual é o SMA VaR de 10 dias para uma carteira de Gold e WTI com um nível de confiança de 99 É 9.1976. Abordagem de Covariância de Variância 8211 Média Móvel Ponderada Exponencialmente (EWMA) Vamos agora ver como é calculado o VaR VCV de média ponderada exponencialmente (EWMA). A diferença entre os métodos EWMA amp SMA para a abordagem VCV está no cálculo da volatilidade subjacente dos retornos. Na SMA, a volatilidade () é determinada (conforme mencionado anteriormente) usando a seguinte fórmula: No EWMA, entretanto, a volatilidade da distribuição de retorno subjacente () é calculada da seguinte maneira: Enquanto o método SMA atribui importância igual aos retornos na série, A EWMA coloca maior ênfase nos retornos de datas e períodos de tempo mais recentes, à medida que as informações tendem a se tornar menos relevantes ao longo do tempo. Isso é obtido especificando um parâmetro lambda (), onde 0lt lt1, e colocando pesos decrescentes exponencialmente nos dados históricos. O. value determina a idade do peso dos dados na fórmula, de forma que quanto menor o valor de. quanto mais rápido o peso piora. Se a administração espera que a volatilidade seja muito instável, isso dará muito peso às observações recentes, enquanto se espera que a volatilidade seja estável, isso daria pesos mais iguais às observações mais antigas. A Figura 9 abaixo mostra como os pesos usados para determinar a volatilidade do EWMA são calculados no EXCEL: Figura 9: Pesos usados no cálculo da volatilidade do EWMA Existem 270 retornos em nossa série de devoluções. Nós usamos um lambda de 0,94, um padrão da indústria. Vamos primeiro olhar para a coluna M na Figura 9 acima. O último retorno da série (para 29-Jun-2012) é atribuído t-10, o retorno em 28-Jun-2012 será atribuído t-11 e assim por diante, de modo que o primeiro retorno em nossa série temporal 2-Jun - 2011 tem t-1 269. O peso é um produto de dois itens 1 - lambda (coluna K) e lambda elevado à potência de t - 1 (coluna L). Por exemplo, o peso em 2 de junho de 2011 (Cell N25) será Cell K25 Cell L25. Pesos escalonados Como a soma dos pesos não é igual a 1, é necessário dimensioná-los para que sua soma seja igual à unidade. Isso é feito dividindo-se os pesos calculados acima por 1- n, onde n é o número de retornos na série. A Figura 10 mostra isso abaixo: Figura 10: Pesos escalonados usados no cálculo da volatilidade do EWMA EWMA Variance O EWMA Variance é simplesmente a soma entre todos os pontos de dados da multiplicação de retornos quadrados e os pesos escalonados. Você pode ver como o produto do quadrado retorna e os pesos escalonados são calculados na barra de funções da Figura 11 abaixo: Figura 11: Séries de retorno ponderadas ao quadrado usadas para determinar o EWMA Variance. some a série inteira para obter a variância (veja a Figura 12 abaixo). Calculamos essa variação para o Gold, WTI e o portfólio (usando o valor de mercado dos retornos ponderados de ativos determinados anteriormente): Figura 12: Volatilidade EWMA Variance Daily EWMA A volatilidade diária da EWMA para Gold, WTI e o portfólio é raiz da variância determinada acima. Isso é mostrado na barra de funções da Figura 13 abaixo para o Ouro: Figura 13: Volatilidade diária do EWMA VaR diário do EWMA VaR diário do EWMA Valor diário da volatilidade do EWMA do CDF normal padrão inverso. Este é o mesmo processo usado para determinar o VaR diário do SMA após a obtenção da volatilidade diária da SMA. A Figura 14 mostra o cálculo do EWMA VaR diário no nível de confiança 99: Figura 14: EWMA VaR diário JRay Holding EWMA VaR Holding EWMA VaR Diário EWMA VaR SQRT (Período de holding) que é o mesmo processo usado para determinar o SMA VaR após obtendo diariamente o SMA VaR. Isso é ilustrado para o EWMA VaR de 10 dias na Figura 15 abaixo: Figura 15: Mantendo o VaR do EWMA VaR Abordagem de Simulação Histórica Retornos Ordenados Ao contrário da abordagem VCV ao VaR, não há suposições sobre a distribuição de retorno subjacente na abordagem de simulação histórica. O VaR é baseado na distribuição de retorno real que, por sua vez, é baseada no conjunto de dados usado nos cálculos. O ponto de partida para o cálculo do VaR para nós é a série de retorno derivada anteriormente. Nossa primeira tarefa é reordenar as séries em ordem crescente, do menor retorno ao maior retorno. Cada retorno ordenado recebe um valor de índice. Isso é ilustrado na Figura 16 abaixo: Figura 16: Devoluções diárias solicitadas Varrimento Diário Diário de Simulação Há 270 devoluções na série. No nível de confiança 99, o VaR diário nesse método é igual ao retorno correspondente ao número do índice calculado da seguinte maneira: (1-nível de confiança) Número de devoluções em que o resultado é arredondado para o número inteiro mais próximo. Esse inteiro representa o número do índice para um dado retorno, como mostra a Figura 17 abaixo: Figura 17: Determinação do número do índice correspondente ao nível de confiança O retorno correspondente a esse número índice é o VaR da simulação histórica diária. Isso é mostrado na Figura 18 abaixo: Figura 18: VaR de simulação de histórico diário A função VLOOKUP pesquisa o retorno ao valor de índice correspondente do conjunto de dados de retorno de pedido. Observe que a fórmula leva o valor absoluto do resultado. Por exemplo, no nível de confiança 99, o número inteiro funciona para 2. Para Ouro, isso corresponde ao retorno de -5.5384 ou 5.5384 em termos absolutos, ou seja, há uma chance de que o preço do Ouro caia mais de 5.5384 em um período de detenção de 1 dia. Exploração histórica de 10 dias VaR Quanto à abordagem VCV, o VaR de detenção é igual ao VaR diário multiplicado pela raiz quadrada do período de detenção. Para o ouro isso funciona para 5.5384SQRT (10) 17.5139. Quantidade da pior perda de caixa Então, qual é a quantia de pior caso para o Ouro em um período de 10 dias que será excedido em 100 dias (ou seja, 99 níveis de confiança) calculado usando a abordagem de Simulação Histórica? Nível de confiança 99 ao longo de um período de detenção de 10 dias Valor de mercado do ouro VaR de 10 dias (1598,50100) 17,5139 USD 27,996. Existe uma chance de que o valor do Ouro na carteira perca um valor superior a USD 27.996 durante um período de 10 dias. A Figura 19 resume isso abaixo: Figura 19: Perda de VaR de 10 dias com nível de confiança de 99 Postagens relacionadas: Estimativa de Valor em Risco e Backtesting Este exemplo mostra como estimar o valor em risco (VaR) usando três métodos, e como realizar uma análise de backtesting do VaR. Os três métodos são: Distribuição normal Simulação histórica Média móvel ponderada exponencial (EWMA) O valor em risco é um método estatístico que quantifica o nível de risco associado a uma carteira. O VaR mede a quantia máxima de perda em um horizonte de tempo especificado e em um determinado nível de confiança. O backtesting mede a precisão dos cálculos do VaR. Usando os métodos VaR, a previsão de perda é calculada e, em seguida, comparada com as perdas reais no final do dia seguinte. O grau de diferença entre as perdas previstas e as reais indica se o modelo de VaR está subestimando ou superestimando o risco. Como tal, o backtesting analisa retrospectivamente os dados e ajuda a avaliar o modelo de VaR. Os três métodos de estimativa usados neste exemplo estimam o VaR em 95 e 99 níveis de confiança. Carregar os dados e definir a janela de teste Carregue os dados. Os dados usados neste exemplo são de uma série temporal de retornos no índice SampP entre 1993 e 2003. Defina a janela de estimativa como 250 dias úteis. A janela de teste começa no primeiro dia de 1996 e vai até o final da amostra. Para um nível de confiança VaR de 95 e 99, defina o complemento do nível do VaR. Esses valores significam que há no máximo 5 e 1 probabilidade, respectivamente, de que a perda incorrida será maior que o limite máximo (ou seja, maior que o VaR). Calcular o VaR usando o método de distribuição normal Para o método de distribuição normal, suponha que o lucro e a perda da carteira sejam normalmente distribuídos. Usando essa suposição, calcule o VaR multiplicando o escore z, em cada nível de confiança, pelo desvio padrão dos retornos. Como o backtesting do VaR analisa retrospectivamente os dados, o VaR hoje é calculado com base nos valores dos retornos nos últimos N 250 dias, levando, mas não incluindo, hoje. O método de distribuição normal também é conhecido como VaR paramétrico porque sua estimativa envolve o cálculo de um parâmetro para o desvio padrão dos retornos. A vantagem do método de distribuição normal é sua simplicidade. No entanto, a fraqueza do método de distribuição normal é a suposição de que os retornos são normalmente distribuídos. Outro nome para o método de distribuição normal é a abordagem de variância-covariância. Calcular o VaR usando o método de simulação histórica Ao contrário do método de distribuição normal, a simulação histórica (HS) é um método não paramétrico. Não assume uma distribuição específica dos retornos dos ativos. A simulação histórica prevê risco assumindo que os lucros e perdas passados podem ser usados como a distribuição de lucros e perdas para o próximo período de retornos. O VaR hoje é calculado como o p-quantil do último N retorna antes de hoje. A figura anterior mostra que a curva de simulação histórica tem um perfil constante por partes. A razão para isso é que os quantis não mudam por vários dias até que ocorram eventos extremos. Assim, o método de simulação histórica é lento para reagir a mudanças na volatilidade. Calcule o VaR Usando o Método da Média Móvel Ponderada Exponencial (EWMA) Os dois primeiros métodos VaR assumem que todos os retornos anteriores têm o mesmo peso. O método de média móvel ponderada exponencial (EWMA) atribui pesos não-mensais, particularmente pesos exponencialmente decrescentes. Os retornos mais recentes têm pesos maiores porque influenciam o retorno de hoje mais do que os retornos anteriores. A fórmula para a variância EWMA sobre uma janela de estimativa de tamanho é: Por conveniência, assumimos uma janela de estimativa infinitamente grande para aproximar a variância: Um valor do fator de decaimento freqüentemente usado na prática é 0,94. Este é o valor usado neste exemplo. Para mais informações, consulte Referências. Inicie o EWMA usando uma fase de aquecimento para configurar o desvio padrão. Use o EWMA na janela de teste para estimar o VaR. Na figura anterior, o EWMA reage muito rapidamente a períodos de retornos grandes (ou pequenos). Backtesting do VaR Na primeira parte deste exemplo, o VaR foi estimado na janela de teste com três métodos diferentes e com dois níveis diferentes de confiança do VaR. O objetivo do backtest de VaR é avaliar o desempenho dos modelos de VaR. Uma estimativa de VaR com 95 de confiança é violada apenas cerca de 5 das vezes, e as falhas de VaR não se agrupam. O agrupamento de falhas de VaR indica a falta de independência ao longo do tempo, porque os modelos VaR demoram a reagir às mudanças nas condições do mercado. Um primeiro passo comum na análise de backtest de VaR é plotar os retornos e as estimativas de VaR juntas. Plote todos os três métodos no nível de confiança 95 e compare-os com os retornos. Para destacar como as diferentes abordagens reagem de maneira diferente às mudanças nas condições de mercado, você pode ampliar a série temporal onde há uma grande e súbita mudança no valor dos retornos. Por exemplo, por volta de agosto de 1998: Uma falha ou violação de VaR ocorre quando os retornos têm um VaR negativo. Um olhar mais atento em torno de 27 de agosto a 31 de agosto mostra uma queda significativa nos retornos. Nas datas que começam a partir de 27 de agosto, a EWMA segue de perto e com maior precisão a tendência dos retornos. Consequentemente, o EWMA tem menos violações de VaR (dois) em comparação com a abordagem de distribuição normal (sete violações) ou o método de simulação histórica (oito violações). Além das ferramentas visuais, você pode usar testes estatísticos para o backtest de VaR. No Risk Management Toolbox, um objeto varbacktest suporta vários testes estatísticos para análise de backtesting do VaR. Neste exemplo, comece comparando os resultados de teste diferentes para a abordagem de distribuição normal nos níveis 95 e 99 VaR. O relatório de resumo mostra que o nível observado está próximo o suficiente para o nível de VaR definido. Os níveis de 95 e 99 VaR têm no máximo (1-VaRlevel) x N falhas esperadas, onde N é o número de observações. A proporção de falhas mostra que o nível de VaR Normal95 está dentro do intervalo, enquanto o Nível de VaR Normal99 é impreciso e subestima o risco. Para executar todos os testes suportados no varbacktest. use runtests. O 95 VaR passa nos testes de frequência, como luz de tráfego, binomial e proporção de falhas (colunas TL. Bin. E POF. O 99 VaR não passa nesses mesmos testes, conforme indicado pelos resultados amarelos e rejeitados. Ambos os níveis de confiança foi rejeitado na independência de cobertura condicional e independência de tempo entre falhas (colunas CCI e TBFI. Esse resultado sugere que as violações de VaR não são independentes, e provavelmente há períodos com várias falhas em um curto espaço de tempo. É mais provável que outras falhas ocorram nos dias subsequentes. Para obter mais informações sobre as metodologias de testes e a interpretação dos resultados, consulte docid: riskug. bvaa3t4 e os testes individuais. Usando um objeto varbacktest, execute os mesmos testes no portfólio para os três testes. abordagens em ambos os níveis de confiança VaR. Os resultados são semelhantes aos resultados anteriores, e no nível 95, os resultados de freqüência são geralmente aceitáveis. No entanto, a freqüência resulta o nível 99 são geralmente rejeições. Em relação à independência, a maioria dos testes passa no teste de independência de cobertura condicional (docid: riskug. bvabiyt-1), que testa a independência em dias consecutivos. Observe que todos os testes falham no teste de independência de tempo entre falhas (docid: riskug. bvabi29-1), que leva em conta os tempos entre todas as falhas. Este resultado sugere que todos os métodos têm problemas com a suposição de independência. Para entender melhor como esses resultados mudam dadas as condições de mercado, veja os anos 2000 e 2002 para o nível de confiança de 95 VaR. Para o ano 2000, todos os três métodos passam em todos os testes. No entanto, para o ano de 2002, os resultados do teste são principalmente rejeições para todos os métodos. O método EWMA parece ter um melhor desempenho em 2002, mas todos os métodos falham nos testes de independência. Para obter mais informações sobre os testes de independência, examine os detalhes do teste de independência condicional de independência (docid: riskug. bvabiyt-1) e o tempo entre falhas (docid: riskug. bvabi29-1) para o ano de 2002. Para acessar o teste detalhes para todos os testes, execute as funções de teste individuais. No teste CCI, a probabilidade p 01 de ter uma falha no tempo t. sabendo que não houve falha no tempo t -1 é dada pela probabilidade p 11 de ter uma falha no tempo t. sabendo que houve falha no tempo t -1 é dado pelo Do N00. N10 N01 N11 colunas nos resultados do teste, o valor de p 01 é em torno de 5 para os três métodos, mas os valores de p 11 são acima de 20. Porque há evidências de que uma falha é seguida por outra falha com muito mais freqüência do que 5 tempo, este teste CCI falha. No teste de independência do tempo entre falhas, observe os quartis mínimo, máximo e quartil da distribuição de tempos entre falhas, nas colunas TBFMin. TBFQ1. TBFQ2. TBFQ3. TBFMax. Para um nível de VaR de 95, você espera um tempo médio entre falhas de 20 dias ou uma falha a cada 20 dias. No entanto, a mediana do tempo entre falhas para o ano de 2002 varia entre 5 e 7,5 para os três métodos. Esse resultado sugere que, na metade do tempo, duas falhas consecutivas ocorrem dentro de 5 a 7 dias, com muito mais frequência do que os 20 dias esperados. Consequentemente, mais falhas de teste ocorrem. Para o método normal, o primeiro quartil é 1, significando que 25 das falhas ocorrem em dias consecutivos. Referências Nieppola, O. Backtesting Value-at-Risk Models. Escola de Economia de Helsinque. 2009. Danielsson, J. Previsão de Risco Financeiro: A Teoria e Prática de Previsão de Risco de Mercado, com Implantação em R e MATLAB. Wiley Finance, 2012. MATLAB e Simulink são marcas registradas da The MathWorks, Inc. Consulte a mathworks / trademarks para obter uma lista de outras marcas registradas da The MathWorks, Inc. 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